ما هو يوم فيبوناتشي؟ وكيف يحتفل الرياضيون به؟
كما أنّ للعرب أيّامًا، وللشعوب في مختلف بقاع العالم أيّامًا، فإنّ للرياضييّن (المشتغلين بالرياضيّات) أيّامًا ومناسباتٍ يحتفلون بها، والرياضيّات كما كانت منذ الأزل تُبهر الناس حتّى بطريقة اختيار المناسبات، فالأمم تختار يومها الوطني بناءً على تاريخ استقلالها أو تاريخ تأسيس الدولة، وبعض المجتمعات خاصّة الأمم المتّحدة التي تحتفل بعشرات الأيّام الدولية تختارها بالنظر إلى تاريخ ميلاد أحد العلماء أو الناشطين البارزين في ذاك المجال، مثل اليوم العالمي للإحصاء الذي يصادف نفس يوم ميلاد عالم الرياضيات الفذّ جورج بول، أما الرياضيات فلها طريقتها الخاصّة، وأبرز الأيّام الرياضيّة هو اليوم العالمي للعدد باي π الذي يصادف الرابع عشر من شهر آذار مارس، وسبب اختياره هو طريقة كتابة التاريخ في هذا اليوم وهي 3.14 وهذه الصيغة تطابق أشهر صيغة للعدد باي.
أما اليوم الذي نحتفل به اليوم وهو يوم فيبوناتشي، فقد اختير بطريقةٍ مشابهة لكنّها أكثر إثارةً، وسنذكرها بعد قليل، لكن دعونا نتعرّف على فيبوناتشي وأعداده الشهيرة.
من هو ليوناردو فيبوناتشي؟
اسمه الحقيقي ليوناردو غيلييمي، ويُنسب إلى مدينة بيزا الإيطالية فيُقال له ليوناردو بيزانو، وفيما بعد اشتهر بلقب فيبوناتشي أي ابن ناتشي، وناتشي هو اسم والده، التاجر الإيطالي الثري الذي كان يسافر بين بيزا وتونس والجزائر، وهذا ما أعطى ليوناردو لقبه الآخر ليوناردو بيغولو أي المسافر، لكن ما اكتسبه من السفر إلى تلك المدن العربية لم يكن مجرّد لقب، بل إنّ أعماله وشهرته التالية برمّتها لن يتسنّى لها الوجود لولا احتكاكه ودراسته مع الرياضيين العرب أمثال عبد الحق الإشبيلي وأبو حميد الصغير، كما أنّه حصل على منحة لدراسة الرياضيات في صقلية واليونان ومصر وسوريا، لذا يُعدّ هو من نقل لأوروبا عن العرب الأرقام الغبارية التي يستخدمها العالم كله اليوم –وفي ذلك أقوال أخرى- وقد درس الرياضيات باللغة العربية وبدا تأثير العربية جليًّا في أشهر كتبه “ليبر أباتشي” حيث كتب بعض فقراته من اليمين إلى اليسار، وفي هذا الكتاب الذي تضمّن طرقًا لحساب الفائدة والربح وتحويل العملات ذكر فيبوناتشي أمثلةً عددية ومسائل ومن بينها كانت أشهر اكتشافاته وهي متتالية فيبوناتشي.
ما هي متتالية فيبوناتشي؟
يمكن ببساطة شرح المتتالية وقانونها العددي بسطر واحد، لكن دعونا نأخذ مثالًا من الطبيعة لنستمتع بهذه المتتالية أكثر، وسيلزمنا في البداية معرفة أنّ النحلة الذكر تنتج عن بيضة غير ملقّحة للملكة، بينما النحلة الأنثى تنتج عن بيضة ملقّحة للملكة، هذا يعني أنّ للنحلة الذكر والدًا واحد هو الملكة، بينما للأنثى والدين اثنين هما الملكة وأحد ذكور الخلية.
الآن دعونا نلقي نظرة على شجرة عائلة “نحّول” وهو أحد ذكور إحدى خلايا النحل في حقلنا:
أم نحّول لديها والِدَين بالطبع، وأمّها لديها والِدين أيضًا بينما أبوها لديه والِد واحد، وهكذا لو انتقلنا إلى أجداد أم نحول وبتطبيق نفس القاعدة أي للذكر والد واحد أم للأنثى والِدين اثنين، سنجد أن عدد الأجداد يزداد في جيل بالشكل التالي:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …
هذه طريقة توليد متتالية فيبوناتشي في خلية النحل، أمّا لو أردنا حسابها على الورق، فهي بهذه البساطة، كل حدّ يساوي مجموع الحدّين السابقين له، ونكتب بالرموز:
Fn= Fn-1 + Fn-2
حيث Fn هو حدّ فيبوناتشي ذو الترتيب n
لماذا اشتهرت متتالية فيبوناتشي؟
تنتمي متتالية فيبوناتشي إلى نوع من المتتاليات يُسمّى متتاليات تعاودية، أي تعتمد معرفة كلّ حدّ على الحدود السابقة، وهناك العديد من المتتاليات الشهيرة المشابهة مثل متتالية لوكاس والتي لا تفرق عن متتالية فيبوناتشي سوى باختيار أوّل حدّين فبدلًا من 1,0 لمتتالية فيبوناتشي، اختار لوكاس 1,3 وتابع بنفس طريقة فيبوناتشي فنتجت المتتالية:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76 …
كما أنّ هناك عدّة متتاليات بُنيت على مبدأ متتالية فيبوناتشي لكن بتغيير مقدار الخطوة التي سنعودها للخلف مثل “بنتاناتشي” أي متتالية فيبوناتشي الخماسية وفيها ينتج كلّ حدّ عن جمع خمسة حدود سابقة:
1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 63, 122 …
بكلّ الأحوال فإنّ جميع المتتاليات التعاودية لديها عدّة ميّزات وأهمّها أنّ النسبة بين كلّ حدّين متتالين تتقارب من عددٍ ما، ومن حُسن حظّ متتالية فيبوناتشي أنّ تلك النسبة تقترب من العدد “فاي” φ والذي يساوي تقريبًا 1.618 والمشهور بالنسبة الذهبيّة وهذه النسبة تظهر في عدّة أماكن في الطبيعة، أكثرها إثارةً هو ترتيب أوراق الشجر في الغصن الواحد، حيث تبيّن أنّ أنجح الأشجار هي تلك التي تفصل بين أوراقها المتتالية زاوية 137.5 وسنسمّي هذه الزاوية بالزاوية الذهبية، وهذه الأشجار هي الأنجح لأنّ الأوراق هي الجزء الذي ينتج الغذاء بعد تعرّضه لأشعة الشمس وبالتالي فإنّ أيّة تغطية غير مدروسة لضوء الشمس ستخفض الإنتاجية، وهذه الزاوية تحقّق أعلى إنتاجية، وهي نفسها الزاوية التي تدفع بها بذور عبّاد الشمس زميلاتها البذرات الأخريات في كلّ مرّة ممّا يشكّل شكلًا حلزونيًا من البذور، عدد الدوائر الحلزونية التي تسير باتجاه عقارب الساعة وعدد تلك التي بعكس عقارب الساعة في نفس النبتة يكون دومًا عددين متتالين من متتالية فيبوناتشي، ونفس الأمر ينطبق على البذور في كوز الصنوبر وعدّة هياكل نباتية لأنّ هذا النموذج من التوزيع الهندسي خُزّن في الجينات التي تتوارثها النباتات.
ما علاقة متتالية فيبوناتشي بالجمال؟
تنتهي علاقة متتالية فيبوناتشي بالطبيعة عند النقطة التي ذكرناها في الفقرة السابقة، أمّا جميع ما تسمعه من علاقتها بالجمال والمستطيل المثالي والجسد المثالي والعيون المثالية فهي أوهام، ويكفي أن نتذكّر أنّ الجمال مفهوم نسبي بالأصل ولا يوجد معيار للجمال المثالي للإنسان، ناهيك عن المستطيل الجميل أو المستطيل القبيح.
لكن يمكن للرياضيين أن يستنبطوا بعض الصيغ الجميلة من متتالية وأعداد فيبوناتشي، مثل: مجموع أيّة عشرة حدود متتالية يساوي أحد عشر ضعفًا من الحدّ الثامن دومًا، وكذلك يمكن إيجاد علاقة بين مثلّث باسكال وحدود فيبوناتشي كما هو موضّح بالشكل:
ما علاقة فيبوناتشي بالاقتصاد؟
استخرج الاقتصاديون نسبًا من حدود فيبوناتشي وذلك بتقسيم الحدّ الأوّل على الحدّ الثاني، ثمّ قسمته على الحدّ الثالث، ومن ثمّ الرابع وهكذا، وسمّوا هذه النسب بـ “مستويات فيبوناتشي” وبمقارنتها مع كمية كبيرة من البيانات السابقة وجدوا بشكلٍ تقريبي أنّ انخفاض الأسعار يتوقّف عند بلوغه أحد هذه المستويات، لذا سُمّيت هذه الطريقة “تصحيحات فيبوناتشي” وكما نرى وبالرغم من أنّ ليوناردو فيبوناتشي عمل بالتجارة وحساب الفوائد والأرباح وتحويل العملات إلا أنّه لم يساهم مباشرةً بهذه التصحيحات بل اعتمد الاقتصاديون المعاصرون على مقارنة النسب التي بحوزتهم بنسب مشتقة من متتالية فيبوناتشي.
هل يمكن أن نجد أثرًا لفيبوناتشي في مكانٍ آخر؟
كما أسلفنا فإنّ متتالية فيبوناتشي هي متتالية تعاودية وهذا النوع شائع ويتمتّع بميّزات جميلة، لذا فمن الوارد بشدّة أن نرى لغزًا رياضيًّا يُحلّ بالاعتماد عليها، مثل اللغز التالي:
لدينا ضفدع وعشر ورقات زنبق، يقف على الأولى ويريد أن يصل للعاشرة، حيث يمكنه القفز إما خطوة واحدة أو خطوتين معًا، إذا تحرّك الضفدع دومًا باتّجاه واحد، بكم طريقة يمكنه الوصول إلى ورقة الزنبق العاشرة؟
الحلّ بالتجربة ثمّ التعميم هو 55 خطوة وهذا الحدّ العاشر في متتالية فيبوناتشي.
كيف يحتفل الرياضيون حول العالم بيوم فيبوناتشي؟
يحتفل الرياضيّون بيوم فيبوناتشي في الثالث والعشرين من تشرين الثاني نوفمبر وذلك لأنّ التاريخ في هذا اليوم يُكتب بشكلٍ مشابه للحدود الأربعة الأولى في متتالية فيبوناتشي 11.23 وهي: 1, 1, 2, 3
تتراوح مظاهر الاحتفال بهذا اليوم بين تنظيم المسابقات لحفظ أكبر عدد من حدود المتتالية، إلى الألغاز التي يعتمد حلّها على المتتالية، وكذلك المسابقات الثقافية التي تتضمّن أسئلةً عن حياة فيبوناتشي واستخدامات النسبة الذهبية وأسئلةً رياضية عامّة، وتُوزّع جوائز نقدية أو حبّات كعك أو فواكه مطابقة لأعداد فيبوناتشي.
هل لاحظتم أنّ عدد أحرف هذا المقال هو أحد أعداد فيبوناتشي، إذا حزرتم ترتيبه اكتبوه في تعليق.
